Dérivées logarithmiques

Bonjour,

J'ai vraiment du mal avec cette satanée dérivée logarithmique, je sais qu'elle est censée simplifier les calculs de dérivées plus complexes mais je saisis pas la notion. Est-ce que quelqu'un pourrait me donner un petit coup de main en m'expliquant comment ça marche ?

Merci bien

Tu parles bien de la fonction log(x) ?

en gros, log(x) = ln(x)/ln10
tu peux passer facilement de log à ln par la relation ln(x) = 2,3*log(x) (produit en croix et log(10) = 2,3)

log(x) a les mêmes propriétés que ln(x) :
log(a+b) = log(a) + log(b)
log(a-b) = log(a) - log(b)

tu as aussi log 10^x = x (pratique quand tu as par exemple log(0,1) = log(10^-1) = -1 )

En fait, je parle de la dérivée logarithmique, qui dit que pour (par exemple) y(x) = [f(x)]^a on a ln|y(x)| = a.ln|f(x)| et donc que la dérivée (ln|y(x)|]' = a.(ln|f(x)]' soit y'(x)/y(x) = a.[f'(x)/f(x)], tout ça dans le cas d'une fonction élevée à la puissance a mais valable aussi pour des exponentielles généralisées et pour je pense toutes fonctions trop complexes à dériver par la voie usuelle.... Rien qu'à l'écrire je m'y perds. On parle pas de la même chose si ?

Merci

ouh la la en effet je ne crois pas qu'on parle de la même chose...
je suis perdue aussi, je n'ai jamais vu ça...
désolée je n'ai pas les lumières qui auraient pu t'éclairer !

C'est dans le chapitre trois de maths, je m'arrache les cheveux sur ce point qui prends à peine une page depuis un bon moment !

C'est pas grave, merci d'avoir essayé

Alors en fait, le principe c'est que la dérivée de ln(x) = 1/x.
Et la dérivée d'une fonction composée, par exemple (ln•u)'(x) = u'(x) * ln'(u). Donc en fait, ln'(u) = u'(x) * 1/u.

La dérivée logarithmique de toute fonction f est donc définie par f'(x)/f(x) = ln'(f(x)). Jusque là tu suis?

Ensuite, pour ce qui est de la simplification des calculs. Prenons une fonction f(x) = u(x) * v(x) / j(x) - et encore là, c'est pas très compliqué par rapport à ce qu'ils pourraient te donner^^ (mais c'est assez agaçant à écrire sur PC^^) - sachant que u, v et j peuvent être sin²(x), cot(x), x², ... n'importe quelle fonction.
Et bien ta dérivée logarithmique (je l'appelle A pour simplifier) A = f'(x) / f(x).
Sauf que c'est aussi égal à A = ln'(u(x)*v(x)/j(x)) = ln'(u(x)) + ln'(v(x)) - ln'(j(x)) [d'après les propriétés de calcul avec les logarithmes].
C'est donc égal à A = u'(x)/u(x) + v'(x)/v(x) + j'(x)/j(x). Et ça c'est tout simple à calculer.
Ensuite une fois que tu as calculé A, tu as f'(x) = A * f(x).
Et tu verras que quand tu as une fonction compliquée, et même avec plusieurs variables, cette méthode te sauvera^^

Essaie par exemple avec l'exercice II.2 du fascicule, ce sera peut-être plus simple à comprendre avec des exemples concrets

Après, je ne sais pas si j'ai très bien expliqué^^ Donc si tu as des questions n'hésites pas (comprendre mon chapitre de physique m'a mise de bonne humeur, autant en profiter^^ )

Donc en fait, si on a u, v et w élevés à a, b et c respectivement (et avec u facteur de v facteur de w) ça donne :

f'/f = (a.u')/u +(b.v')/v + (c.w')/w ?

et f' = f.[(a.u')/u +(b.v')/v + (c.w')/w] ?

L'explication est très claire, mais je suis têtue quand je comprends pas en général.

merci dans tous les cas!

C'est ça

Et ne t'inquiète pas, moi aussi^^

Merci beaucoup alors !

Tu évites à mon entourage beaucoup, beaucoup de mauvaise humeur
(qu'est-ce que c'est chiant quand tu bloques sur un truc pendant longtemps!)

De rien^^

Oh oui, je comprends ça.. Et puis avec la physique, là on a pas fini les blocages pendant trois heures sur une pauvre petite formule XD